La ciencia detrás del tráfico II: el precio de la anarquía

El desplazamiento de una persona dentro de una ciudad es el producto de diferentes decisiones que el viajero hace para arribar a su destino, concernientes al modo de transporte (metro, bus, automóvil), la hora de partida, y la ruta a seguir. Desde este punto de vista, el tráfico en una ciudad, es decir, la cantidad de vehículos que circulan en un momento dado en cada una de sus calles, es el resultado del conjunto de las decisiones individuales de todos los viajeros en un periodo de tiempo dado. Por ejemplo, el tráfico que un automovilista experimenta en Periférico es el resultado del número de personas que decidieron usar esa ruta en ese momento. Sin embargo, es evidente que no todos los viajeros con orígenes y destinos comparables deciden utilizar las mismas rutas para llegar a su destino, ya que el tráfico mismo influye en las decisiones de los viajeros, por ejemplo, el viajero que decide no utilizar vías primarias o que decide cambiar su hora de partida, anticipando la congestión de la hora pico de la mañana. Se tiene así una relación recíproca donde el tráfico es el resultado de las decisiones de los viajeros, pero, al mismo tiempo, las decisiones de los viajeros son influenciadas por el tráfico. Esta relación se puede estudiar a partir de la teoría económica.

Desde el punto de vista de la teoría económica, se asume que cada viajero asocia una utilidad (costo) a cada una de las rutas que tiene como alternativas para llegar a su destino, y que todos los viajeros buscan maximizar su utilidad (o disminuir su costo) cuando eligen una ruta. La utilidad que un viajero asocia a una ruta depende de las características de la ruta misma, como lo son el tiempo de traslado, la fiabilidad en el tiempo de traslado, número de intersecciones, semáforos y topes, por mencionar algunas; así como de las características del viajero, tales como su edad, nivel socio-económico, sexo, tipo de vehículo, etc. Sin embargo, a manera de simplificación usualmente se reconoce al tiempo de traslado como la única variable que afecta la utilidad. Bajo este supuesto, el problema de asignación de tráfico es encontrar el flujo en la red de transporte que minimice los tiempos de traslado de cada viajero. A la solución de este problema se le conoce como equilibrio de los usuarios (viajeros), ya que la solución es tal que ningún viajero puede obtener un menor tiempo de traslado cambiando unilateralmente de ruta. A esta manera de asignar a los viajeros en las rutas se le conoce también como el primer principio de Wardrop, matemático inglés quien desarrolló la teoría del equilibrio en las redes de transporte.

El equilibrio de los usuarios asume que los viajeros son agentes económicos egoístas que buscan únicamente minimizar su tiempo, es decir, los viajeros actúan de forma individualista. Sin embargo, si se considera el tiempo total del sistema (el costo social), se tiene que la solución en equilibrio de los usuarios no es (necesariamente) aquella con el menor costo social.  Lo anterior, se debe a que el tiempo promedio de traslado en una ruta aumenta conforme más vehículos circulan en ella. En otras palabras, las decisiones de los viajeros tienen externalidades negativas que degradan la eficiencia de la red de transporte. Si estas externalidades negativas no son consideradas en las decisiones individualistas de los viajeros, como es el caso en el equilibrio de los usuarios, entonces no hay razón para pensar que el costo social de una red en equilibrio será (necesariamente) el mínimo.

A la asignación de tráfico con mínimo costo social posible se le conoce como el óptimo del sistema. El óptimo del sistema asume, a diferencia del equilibrio de los usuarios, que los viajeros actúan de manera colaborativa para disminuir el costo total del sistema, es decir, para alcanzar la mayor eficiencia en la red de transporte. De manera alternativa, el óptimo del sistema puede pensarse como la asignación de tráfico centralizada, donde un súper ente decide la ruta que cada uno de los viajeros sigue para asegurar un uso eficiente de la red de transporte. Al óptimo del sistema se le conoce como el segundo principio de Wardrop.

La mayor eficiencia que puede alcanzarse en una red de transporte es el óptimo del sistema. Sin embargo, de acuerdo a los supuestos de racionalidad económica, los viajeros eligen, de manera individual y egoísta, la ruta que con la que minimizan su tiempo de traslado, en detrimento del tiempo total social del sistema (costo social). A este deterioro en la eficiencia del sistema se le conoce como el precio de la anarquía, que en otras palabras es el costo social extra incurrido cuando los viajeros no actúan de forma colaborativa.

En redes de transporte se estima que los viajeros pierden 33% de tiempo por no actuar de manera cooperativa, este es el precio de la anarquía. La reducción del precio de la anarquía es el objetivo de las autoridades reguladoras del tráfico y, por lo tanto, es un tema vigente de investigación. Varias estrategias de control de tráfico han sido propuestas y puestas en marcha en diferentes ciudades con la finalidad de reducir el precio de la anarquía. Algunos ejemplos son los límites de velocidad variables, las vías de acceso controlado (control del número de vehículos que entran en una arteria dependiendo del tráfico en ésta) y el cobro por circular en algunas zonas de la ciudad. Más aún, se han realizado estudios de cómo proveer información sobre el costo social en las aplicaciones de información de tráfico (como Google o Waze) podría cambiar el comportamiento de algunos de los viajeros en dirección hacia el óptimo del sistema. Así mismo, se ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, construir una nueva avenida podría empeorar la eficiencia de la red de transporte (Paradoja de Braess).

En este artículo se habló del precio de la anarquía en el contexto del tráfico en una red de transporte, que no es más que la tensión entre las decisiones de los individuos que buscan minimizar su tiempo de traslado, y el costo social que esto conlleva: el aumento en el tiempo de otros viajeros. Sin embargo este concepto se puede extender a diversos ámbitos dentro de una sociedad. ¿Acaso se puede imaginar una sociedad en la que cada individuo actúa únicamente en su propio beneficio sin mirar las consecuencias que esto implica? Es claro que el papel de la autoridad es regular las interacciones entre los individuos para incentivar que sus decisiones sean encaminadas hacia un óptimo social. Pero, también es el papel de nosotros, los ciudadanos, hacernos responsables de las repercusiones negativas que nuestras decisiones tienen, e intentar minimizar su costo. No es un tema de moralidad, sino de practicidad meramente racional.

Ejemplo del precio de la anarquía en una red de transporte

Una primera simplificación que se hace a la hora de estudiar la asignación del tráfico es considerar el tiempo de traslado como la única variable que afecta la utilidad que un viajero obtiene de una ruta. Ahora bien, el tiempo de traslado en una calle, que es el tiempo que toma cruzarla, es función creciente de su flujo: a mayor número de vehículos en la calle, mayor el tiempo de traslado. Esta relación entre el flujo y el tiempo de traslado se puede escribir como $t_a(x_a)$, donde $t_a$ es la función que nos dice el tiempo de traslado en la calle $a$, cuando su flujo es $x_a$. La función $t_a$ tiene el subíndice a que indica que ésta puede ser diferente para cada calle. Una relación típica entre el tiempo de traslado en una calle (o segmento de calle) y el flujo se ilustra en la figura 1.

Figura 1. Función típica que relaciona el tiempo de traslado y el flujo en una calle.

En este ejemplo, se supone una pequeña red de transporte con un sólo origen y un sólo destino conectados por dos rutas (figura 2) y que hay 20 viajeros que desean completar este viaje. El tiempo de traslado (en minutos) en la ruta 1 y ruta 2, está dado por $t_1(x_1) = 1 + 4x_1$ y $t_2(x_2) = 11 + x_2$, respectivamente. Como el número de viajeros que desean hacer este viaje es 20, entonces el flujo total en ambas rutas es $x_1 + x_2 = 20$ (conservación del flujo). Comenzando con un flujo en cada una de las rutas de $x_1=2$ y $x_2=18$, se tiene que el tiempo de traslado de los dos viajeros en la ruta 1 es de $t_1(2) = 9$ y el tiempo de traslado de los 18 viajeros en la ruta 2 es de $t_2(18) = 29$. Se observa entonces que si un viajero cambiara de la ruta 2 a la ruta 1, su tiempo de traslado mejoraría, al pasar de 29 a 13 minutos: $t_1(3) = 13$  ($t_2(17) = 28$). Por lo tanto, la asignación $x_1=2$ y $x_2=18$ no está en equilibrio.

Figura 2. Asignación fuera de equilibrio: si un viajero cambiara de la ruta 2 a la ruta 1, entonces su tiempo de traslado mejoraría.

Equilibrio de los usuarios

Si se asume que todos los viajeros buscan minimizar su tiempo de traslado (equilibrio de usuarios), el problema de asignación de rutas es encontrar los flujos en cada calle de la red tales que ningún viajero pueda reducir su tiempo de traslado cambiando unilateralmente de ruta. Esta solución es equivalente a encontrar los flujos, tales que el tiempo de traslado sea igual en cada ruta utilizada, y menor que en las rutas no utilizadas (de no ser así, existiría un usuario que cambiando de ruta mejoraría su tiempo de traslado). Resulta que la solución de equilibrio para este ejemplo es $x_1=6$ y $x_2=14$, con $t_1(6) = t_2(14) = 25$. En este caso, ningún viajero puede mejorar su tiempo de traslado cambiando de ruta: el mejor tiempo que pueden lograr es de 25 minutos.

Figura 3. Asignación en equilibrio: si un solo viajero cambiara de ruta, entonces su tiempo de traslado empeoraría.

Equilibrio de los usuarios vs óptimo del sistema (el precio de la anarquía)

El costo total del sistema se define como la suma del tiempo de traslado de todos los viajeros en la red (CTS). En el ejemplo anterior, el costo total del sistema es $CTS=x_1 * t_1(x_1) + x_2 * t_2(x_2)$. Partiendo del equilibrio de los usuarios ($x_1=6$ y $x_2=14$) el costo total del sistema es $CTS^{equi}=25 * 20 = 500$ minutos. Sin embargo, ¿es el costo total del sistema derivado del equilibrio de los usuarios ($CTS^{equi}$) el mínimo que se puede alcanzar? La respuesta es no. La asignación $x_1=5$ y $x_2 = 15$ (que no se encuentra en equilibrio de los usuarios) tiene un costo total del sistema $CTS_{optim} = 495$ , que es menor que el costo total del sistema en equilibrio, $CTS^{equi}$. De hecho, $CTS_{optim}$ es el óptimo del sistema, es el mínimo posible. El precio de la anarquía en este caso está dado por $PA= CTS_{equi} / CTS_{optim} = 1.010$, lo que quiere decir que el tiempo de traslado aumentó 1%.


Referencias

  • Bovy, P. H. L., & Stern, E. (1990). Route Choice: Wayfinding in Transport Networks. Kluwer Academic Publishers.
  • Braess, D., Nagurney, A., & Wakolbinger, T. (2005). On a Paradox of Traffic Planning. Transportation Science, 39(4), 446–450.
  • Sheffi, Y. (1985). Urban transportation networks. PRENTICE-HALL, Inc.
  • van Essen, M., Thomas, T., van Berkum, E., & Chorus, C. (2016). From user equilibrium to system optimum: a literature review on the role of travel information, bounded rationality and non-selfish behaviour at the network and individual levels. Transport Reviews, 36(4), 527–548.
  • Walker, J., & Ben-Akiva, M. (2002). Generalized random utility model. Mathematical Social Sciences, 43(3), 303–343.

Fotos de portada y texto tomadas de Flickr.com, usuarios Phil’s 1stPix, licencia CC BY-NC-SA 2.0 y  Reid Gilman, licencia CC BY-NC 2.0

¡Aquí puedes dejar tus comentarios!

Category: CienciaTráfico

Tags:

Article by: Humberto Gonzalez

Es matemático aplicado egresado del ITAM con una maestría en ciencia de datos por las universidades Politécnica de Nantes y Politécnica de Cataluña. Actualmente estudia un doctorado en teoría de decisión aplicada a transporte en el Instituto Francés de Ciencia y Tecnología en Transporte, Ordenamiento y Redes (IFSTTAR).